Propostes de treball de recerca 

Llistat de propostes
  • Criptografia. Desxifrar missatges secrets i fer una mica d’espies.
  • Fractals geomètrics i dimensió fractal.
  • Sangakus, art i matemàtiques.
  • Geometries no euclídies.
  • Superfícies reglades i arquitectura
  • La corba lemniscata i la captura de l'analema solar.
  • Les matemàtiques del cub de Rubik.
Criptografia. Desxifrar missatges secrets i fer una mica d’espies.

Saps com s'envien els missatges per Internet sense ser interceptats? 

L'espionatge sempre ha anat lligat a poder desxifrar missatges de l'enemic.

Aquí hi intervenen les matemàtiques. “QOBYXII AB OBZBOZX” és un missatge xifrat, saps què vol dir?

Es proposa fer l'anàlisi històric de l'art de xifrar i desxifrar. Com s'han resolt algunes guerres o moments històrics trencant codis secrets.


Tindràs la possibilitat de:

  • Descobrir com han estat d'importants les comunicacions xifrades al llarg de la història
  • Entendre com es comuniquen de forma segura els ordinadors en l'actualitat. 
  • Criptografia asimètrica. Veure la utilitzat dels nombres primers.
  • Crear programes per desxifrar missatges.
  • ....

Algunes referències: 

  • Matemáticos, espías y piratas informáticos. Codificación y criptografía. Joan Gómez. RBA. (Disponible al departament)
  • Compilador de C++. Orwell Dev C++
  • Criptografia asimètrica - Introducció


Fractals geomètrics i dimensió fractal.
Es proposa la construcció d’objectes fractals mitjançant processos geomètrics de forma iterativa: el triangle de Sierpinski , la corba de Koch, corba de Hilbert, els fractals de Mandelbrot, conjunt de Júlia...

Aquest objectes tenen propietats molt sorprenents que en ocasions desafien la intuïció. 

La dimensió fractal és una generalització de la dimensió habitual i pot prendre valors fraccionaris.

Tindràs la possibilitat de:
  • Aplicar coneixements de nombres complexos. Fractal del Mandelbrot
  • Aplicar conceptes de funcions i de límits de funcions.
  • Desenvolupar programes per reproduir aquests objectes.
  • Utilitzar programes ja fets per investigar aquests objectes geomètrics
  • ....
Algunes referències:
Sangakus. Art i matemàtiques
Els sangakus (san gaku) són problemes geomètrics il·lustrats en tauletes de fusta i que es troben en els temples budistes, on el valor artístic té la mateixa importància que el seu contingut matemàtic. Se't proposa fer l'anàlisi d'aquests problemes des de la seva construcció geomètrica fins a la seva resolució analítica.

Tindràs l'oportunitat de:
  • Fer les construccions amb geogebra
  • Aplicar  la resolució d'equacions per poder representar alguns problemes.
  • Ús del càlcul de les derivades per a solucionar alguns d'aquests problemes.
  • Investigar sobre el significat dels sangakus i estudiar una part de la història de les matemàtiques. 

 Algunes referències:


Geometries no euclídies
La distància més curta entre dos punts no sempre és la línia recta, això ho saben els pilots d'avions i els taxistes. Aquest podria ser un dels enfocs per a descobrir noves geometries, diferents a la geometria  que Euclídes a l'antiga Grècia va  definir a partir d'un conjunt de 5 postulats. En aquest treball descobriràs com aquestes noves geometries s'apliquen en l'estudi de fenomens reals.

Tindràs la possibilitat de:
  • Comparar els objectes que queden definits amb la geometria euclidea i la del taxi.
  • Entendre  alguns conceptes de geometria hiperbòlica i veure com apareix en l'obra de Escher.
  • .....

Algunes referències:
Superfícies reglades i arquitectura
Una superfície reglada és la superfície generada per una recta  quan es desplaça sobre una o diverses corbes. Se't proposa descobrir i descriure matemàticament aquestes superfícies, buscar exemples en l'arquitectura i mitjançant l'ús del geogebra reproduir algunes d'aquestes estructures.
La corba lemniscata i la captura de l'analema solar
T'has fixat quin és el moviment del sol durant l'any? Potser no, però si que t'has adonat que a l'estiu els dies són més llargs i el  sol arriba més amunt,i a l'hivern els dies més curts.  

Amb aquest treball es pretén estudiar el moviment del sol durant l'any a través de fotografies, veure que aquest moviment s'ajusta a una corba anomenada lemniscata que pertany a un conjunt de corbes que s'anomenen corbes podàries.

Tindràs la oportunitat de:
  • Treballar el concepte de lloc geomètric i conèixer corbes diferents a les estudiades.
  • Treballar amb el programa geogebra per ajustar diferents analemes a la corba lemniscata
  • Dissenyar un pla de treball per a poder fotografiar l'analema.
  • Donar una explicació teòrica per la qual es produeix aquesta trajectòria.
  • Aprendre tècniques fotogràfiques tan de producció com d'edició de fotografies.
  • Dissenyar un rellotge de sol.
  

Algunes referències:
Les matemàtiques del cub de Rubik
El cub de Rubik és un trencaclosques mecànic ideat l'any 1974 per  Ernő Rubik.  
Se't proposa analitzar com les matemàtiques, l'àlgebra lineal i la simetria, pot solucionar aquest  puzle de de qualsevol posició inicial. Es farà un estudi del nombre de moviments necessaris per a solucionar-lo.
El problema dels 3 cossos o problema d'Euler